Question

【題目】2006 年 8 月中旬 , 湖南省資興市遇到了百年不遇的洪水災(zāi)害 . 在資興市的東江湖岸邊的點(diǎn) O 處(可視湖岸為直線) 停放著一只救人的小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成 15°，, 速度為2.5 km/ h ，同時(shí)，岸上有一人從同一地點(diǎn)開始追趕小船 .已知他在岸上追的速度為4 km/ h ，在水中游的速度為 2 km/h .問此人能否追上小船? 若小船速度改變 ，則小船能被此人追上的最大速度是多少 ?

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

如圖所示，設(shè)此人在岸上跑到點(diǎn)后下水, 在點(diǎn)處追上小船.設(shè)船速為,人追上船的時(shí)間為, 人在岸上追船的時(shí)間為的倍(), 則人在水中游的時(shí)間為.

故，.

由余弦定理得.

整理得.

設(shè).

易知.

（1）若，則必存在，使得.

此時(shí)，，解得.

（2）若，要使在內(nèi)有解，

則

解得

故.

綜上，當(dāng)時(shí)，人可以追上船.

因此，船速為25km/h時(shí)，能追上小船，小船能被人追上的最大速度是km/h.