Question

已知函數(shù)f(x)=

kx+1

x2+c

（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中一個(gè)是x=-c．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的另一個(gè)極值點(diǎn)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極大值M和極小值m，并求M-m≥1時(shí)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）原函數(shù)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)就是導(dǎo)函數(shù)恰有兩個(gè)不等實(shí)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根即可．
（Ⅱ）根據(jù)開(kāi)口向上和向下兩種情況分別找到M-m，再解M-m≥1即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

k(x2+c)-2x(kx+1)

(x2+c)2

=

-kx2-2x+ck

(x2+c)2

，
由題意知f'（-c）=0，即得c²k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f'（x）=0得-kx²-2x+ck=0，
由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為x=1（或x=c-

2

k

）．
（Ⅱ）由（*）式得k=

2

c-1

，即c=1+

2

k

．
當(dāng)c＞1時(shí)，k＞0；當(dāng)0＜c＜1時(shí)，k＜-2．
（i）當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（-c，1）內(nèi)是增函數(shù)．
∴M=f(1)=

k+1

c+1

=

k

2

＞0，m=f(-c)=

-kc+1

c2+c

=

-k2

2(k+2)

＜0，
由M-m=

k

2

+

k2

2(k+2)

≥1及k＞0，解得k≥

2

．
（ii）當(dāng)k＜-2時(shí)，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-c，1）內(nèi)是減函數(shù)．
∴M=f(-c)=

-k2

2(k+2)

＞0，m=f(1)=

k

2

＜0M-m=

-k2

2(k+2)

-

k

2

=1-

(k+1)2+1

k+2

≥1恒成立．
綜上可知，所求k的取值范圍為(-∞，-2)∪[

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值以及對(duì)分類討論思想的考查．分類討論思想在數(shù)學(xué)中是非常重要的思想之一，所以希望能加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．