Question

【題目】函數f（x）=
（1）求函數f（x）的定義域A；
（2）設B={x|﹣1＜x＜2}，當實數a、b∈（B∩RA）時，證明： |．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，

當x≤﹣2時，得x≤﹣4；當﹣2＜x＜﹣1時，無解；當x≥﹣1時，得x≥1，

∴A={x|x≤﹣4或x≥1}

（2）

證：∵B={x|﹣1＜x＜2}，RA={x|﹣4＜x＜1}，

∴B∩RA={x|﹣1＜x＜1}，

∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，

要證 ＜|1+ |，只需證4（a+b）2＜（4+ab）2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），

∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，

∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

∴ ＜|1+ |成立

【解析】（1）分類討論x的范圍，根據負數沒有平方根，利用絕對值的代數意義求出x的范圍，即可確定出A；（2）求出B與A補集的交集，得到a、b滿足的集合，把所證等式兩邊平方，利用作差法驗證即可．
【考點精析】利用交、并、補集的混合運算和函數的定義域及其求法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法；求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零．