Question

對于四個正數x，y，z，w，如果xw＜yz，那么稱（x，y）是（z，w）的“下位序對”．
（1）對于2，3，7，11，試求（2，7）的“下位序對”；
（2）設a，b，c，d均為正數，且（a，b）是（c，d）的“下位序對”，試判斷

c

d

，

a

b

，

a+c

b+d

之間的大小關系；
（3）設正整數n滿足條件：對集合{t|0＜t＜2014}內的每個m∈N⁺，總存在k∈N⁺，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序對”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序對”．求正整數n的最小值．

Answer 1

考點：不等式的基本性質

專題：不等式

分析：（1）據新定義，代入計算判斷即可；
（2）根據新定義得到ad＜bc，再利用不等式的性質，即可判斷；
（3）由題意得到

mn＜2014k (m+1)n＞2015k

，繼而求出n≥4029，再驗證該式對集合{t|0＜t＜2014}內的每個m∈N⁺的每個正整數m都成立，繼而求出最小值

解答： 解：（1）∵3×7＜11×2，
∴（2，7）的下位序對是（3，11）．
（2）∵（a，b）是（c，d）的“下位序對”，
∴ad＜bc，
∵a，b，c，d均為正數，故

a+c

b+d

-

a

b

=

bc-ad

(b+d)b

＞0，即

a+c

b+d

-

a

b

＞0，所以

a+c

b+d

＞

a

b

；
同理

a+c

b+d

＜

c

d

．
綜上所述，

a

b

＜

a+c

b+d

＜

c

d

．
（3）依題意，得

mn＜2014k (m+1)n＞2015k

，
注意到m，n，l整數，故

mn+1≤2014k mn+n-1≥2015k

，
于是2014（mn+n-1）≥2014×2015k≥2015（mn+1），
∴n≥

4029

2014-m

，
該式對集合{t|0＜t＜2014}內的每個m∈N⁺的每個正整數m都成立
∴n≥

4029

2014-2013

=4029，
∵

m

2014

＜

k

n

＜

m+1

2015

，
∴

m

2014

＜

m+m+1

2014+2015

＜

m+1

2015

，
∴

m

2014

＜

2m+1

4029

＜

m+1

2015

，
∴對集合{t|0＜t＜2014}內的每個m∈N⁺，總存在k∈N⁺，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序對”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序對”．
正整數n的最小值為4029

點評：本題考查了新定義的學習和利用，關鍵掌握讀懂新定義，屬于難題