Question

動圓P過定點F（1，0）且與直線x=-1相切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F的直線交曲線C所得的弦長為36，求這條直線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得：曲線C為拋物線：y²=4x．
（2）設直線的方程為y=k（x-1），（k≠0），與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯立化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0．可得根與系數的關系，利用焦點弦長公式|AB|=x₁+x₂+2=2+

4

k2

+2=36，解出即可．

解答： 解：（1）由題意可得：曲線C為拋物線：y²=4x．
（2）設直線的方程為y=k（x-1），（k≠0），與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y=k(x-1) y2=4x

，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=2+

4

k2

．
∴|AB|=x₁+x₂+2=2+

4

k2

+2=36，
解得k=±

2

4

．
故所求的直線方程為y=±

2

4

（x-1）．

點評：本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、焦點弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．