Question

【題目】已知函數(shù)（）在處取得極值．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）見解析

【解析】分析：（1）由題意可得， 則．據(jù)此可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）知在處取得最大值． 分類討論有：①當(dāng)時，無零點(diǎn)． ②當(dāng)時，有一個零點(diǎn)． ③當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)．

詳解：（1）因?yàn)?/span>，

又，即，解得．

令，即，解得；

令，即，解得．

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）知在處取得最大值．

①當(dāng)即時，，所以無零點(diǎn)．

②當(dāng)即時，當(dāng)且僅當(dāng)時，，

所以有一個零點(diǎn)．

③當(dāng)即時，，

因?yàn)?/span>，且，

又在上單調(diào)遞增，所以在上有且只有一個零點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，且，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．

又在上單調(diào)遞減，所以在上有且只有一個零點(diǎn)．

故當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)．