Question

已知向量

a

=（cosλθ，cos（5-λ）θ），

b

=（sin（5-λ）θ，sinλθ），λ，θ∈R
（1）求|

a

|²+|

b

|²的值；
（2）若

a

⊥

b

，求θ；
（3）若θ=

π

10

，求證：

a

∥

b

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量模的計算公式、數量積的性質即可得出；
（2）利用

a

⊥

b

?

a

•

b

=0即可得出；
（3）利用向量共線定理即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（cosλθ，cos（5-λ）θ），

b

=（sin（5-λ）θ，sinλθ），λ，θ∈R．
∴|

a

|=

cos2λθ+cos2(5-λ)θ

，|

b

|=

sin2(5-λ)θ+sin2λθ

，
∴

a

2+

b

2=cos²λθ+cos²（5-λ）θ+sin²（5-λ）θ+sin²λθ=2．
（2）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=cosλθsin（5-λ）θ+sinλθcos（5-λ）θ=sin（5θ-λθ+λθ）=sin5θ=0，
∴5θ=kπ（k∈Z）．
∴θ=

kπ

5

(k∈Z)．
（3）當θ=

π

10

時，

a

=(cos

πλ

10

，sin

(5-λ)π

10

)，

b

=(sin

(5-λ)π

10

，sin

πλ

10

)，
∵sin

(5-λ)π

10

cos

(5-λ)π

10

-sin

πλ

10

cos

πλ

10

=

1

2

sin(π-

πλ

5

)-

1

2

sin

πλ

5

=

1

2

sin

πλ

5

-

1

2

sin

πλ

5

=0，
∴

a

∥

b

．

點評：本題考查了向量模的計算公式、數量積的性質、

a

⊥

b

?

a

•

b

=0、向量共線定理等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．