Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+3ax+a 2-3，(x＜0) 2ex-(x-a)2+3，(x＞0)

，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）=-f（-x），求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）x＞0時，f'（x）=2e^x-2x+2a，y=f（x）在x=1處取得極值，f'（1）=0，從而a=1-e，此時，f'（x）=2e^x-2x+2-2e=2（e^x-e）-2（x-1），通過求導(dǎo)，找到單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值，綜合得出a 的值；
（2）先求出a=

ex

x

，再令h（x）=a，通過求導(dǎo)得出h（x）的單調(diào)區(qū)間，找到函數(shù)的最值，從而解決問題．

解答： 解：（1）x＞0時，f'（x）=2e^x-2x+2a，
∵y=f（x）在x=1處取得極值，f'（1）=0，
∴a=1-e，
此時，f'（x）=2e^x-2x+2-2e=2（e^x-e）-2（x-1），
f''（x）=2e^x-2=2（e^x-1）＞0，（x＞0），f'（x）在（0，+∞）遞增，
又f'（1）=0，x∈（0，1）時，f'（x）＜0；x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0．
f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
y=f（x）在x=1處取得極小值．符合題意
∴a=1-e．
（2）存在x∈（0，+∞），使得f（x）=-f（-x），
即2e^x-（x-a）²+3=-（x²-3ax+a²-3），
即存在x∈（0，+∞），使得a=

2ex

x

令h(x)=

2ex

x

，(x＞0)，
則h′(x)=

2ex(x-1)

x2

，(x＞0)，
h'（x）＞0時，x＞1；h'（x）＜0時，0＜x＜1；
h（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
h（x）_min=h（1）=2e，
且x→0時（x＞0），h(x)=

2ex

x

→+∞；                   
∴只需a≥2e．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的最值問題，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．