Question

給出下面四個命題：
①函數f（x）=x-sinx（x∈[0，π]）的最大值為π，最小值為0；
②函數y=x³-12x （-3＜x＜2）的最大值為16，最小值為-16；
③函數y=x³-12x （-2＜x＜2）無最大值，也無最小值；
④函數y=x³-12x在（a，10-a）上有最小值，則a的取值范圍是（-∞，2）．  
其中正確的命題有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①函數f（x）=x-sinx（x∈[0，π]），f′（x）=1-cosx≥0，可得函數f（x）單調遞增，即可得出最值；
②函數y=x³-12x （-3＜x＜2），y′=3x²-12=3（x+2）（x-2），列表利用導數研究函數的單調性極值與最值即可．
③由表格可知：函數y=x³-12x （-2＜x＜2）無最值；
④函數y=x³-12x在（a，10-a）上有最小值，由f（x）=x³-12x=f（2）=-16，解得x=2或-4．則必須-4≤a＜2＜10-a，解得即可判斷出．

解答： 解：①函數f（x）=x-sinx（x∈[0，π]），f′（x）=1-cosx≥0，∴函數f（x）單調遞增，∴函數f（x）的最大值為f（π）=π，最小值為f（0）=0，正確；
②函數y=x³-12x （-3＜x＜2），y′=3x²-12=3（x+2）（x-2），
列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：極大值即最大值為f（-2）=16，無最小值，因此不正確；
③由表格可知：函數y=x³-12x （-2＜x＜2）無最大值，也無最小值，正確；
④函數y=x³-12x在（a，10-a）上有最小值，由f（x）=x³-12x=f（2）=-16，解得x=2或-4．
則必須-4≤a＜2＜10-a，解得-4≤a＜2，因此a的取值范圍是[-4，2），不正確．
其中正確的命題有：①③．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．