Question

已知函數f（x）=x²+|x-1|+a|x+1|在R上有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：函數f（x）=x²+|x-1|+a|x+1|在R上有兩個不同的零點可化為y=x²+|x-1|與y=-a|x+1|在R上有兩個不同的交點，作函數的圖象求解．

解答： 解：函數f（x）=x²+|x-1|+a|x+1|在R上有兩個不同的零點
可化為y=x²+|x-1|與y=-a|x+1|在R上有兩個不同的交點，
作函數y=x²+|x-1|與y=-a|x+1|的圖象如下，

結合圖象可知，
當直線y=-a（x+1）與y=x²-x+1相切時為一個臨界值，
設切點為（x，x²-x+1），則

x2-x+1

x+1

=2x-1；解得，x=

3

-1；
故-a=2

3

-3；故-a＞2

3

-3；
故a＜3-2

3

；
當直線y=a（x+1）與y=x²-x+1相切時為另一個臨界值，
設切點為（x，x²-x+1），則

x2-x+1

x+1

=2x-1；解得，x=-

3

-1；
故a＞2（-

3

-1）-1=-3-2

3

；
故-3-2

3

＜a＜3-2

3

故答案為：-3-2

3

＜a＜3-2

3

．

點評：本題考查了函數的圖象的應用，屬于基礎題．