Question

已知⊙C₁：x²+（y+5）²=5．
（1）求過點A（1，-3）且與⊙C₁相切的直線l的方程；
（2）設⊙C₂為⊙C₁關于（1）中的直線l對稱的圓，則在x軸上是否存在點P，使得P到兩圓的切線長之比為

2

？若存在，求出點P的坐標，若不存在，試說明理由；
（3）設Q是直線y=x+4上的任意一點，EF為⊙C₁的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求

QE

•

QF

的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的切線方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）先判定點在圓上，用點斜式求切線l的方程．
（Ⅱ）求出對稱圓的方程，設x軸上P點坐標，利用半徑和PC₂的距離，解出兩個切線長，再用切線長之比解出結果．
（3）

QE

•

QF

=

4 QC1 2-( QE 2+ QF 2)

2

，△QEF中，由余弦定理可得QE²+QF²=2

QE

•

QF

+20，從而可得

QE

•

QF

=QC₁²-5，故當QC₁最小時，

QE

•

QF

取得最小值

解答： 解：（1）C₁（0，-5），r=

5

，
因為點A恰在⊙C₁上，所以點A即是切點，直線l的斜率為-

1

2

，
所以，直線l的方程為y+3=-

1

2

（x-1），即x+2y+5=0；
（2）因為點A恰為C₁C₂中點，所以，C₂（2，-1），
所以，⊙C₂：（x-2）²+（y+1）²=5，
設P（a，0），

PC12-5

PC22-5

=2或

1

2

，
所以

a2+20

(a-2)2-4

=2或

1

2

，
解得a=-2或10．
所以P（-2，0）或（10，0）
綜上，存在兩點P（-2，0）或P（10，0）適合題意．
（3）由題意可得圓心C₁（0，-5），EF=2

5

為直徑．
由于

QE

+

QF

=2

QC1

，平方可得

QE

•

QF

=

4 QC1 2-( QE 2+ QF 2)

2

①．
△QEF中，由余弦定理可得 EF²=20=QE²+QF²-2QE•QFcos∠EQF
=QE²+QF²-2

QE

•

QF

，
∴QE²+QF²=2

QE

•

QF

+20 ②，
把②代入①可得

QE

•

QF

=2QC₁²-

QE

•

QF

-10，
∴

QE

•

QF

=QC₁²-5，故當QC₁最小時，

QE

•

QF

取得最小值
由于QC₁的最小值是點C₁到直線l：x-y+4=0的距離，為

9

2

=

9 2

2

，
故

QE

•

QF

的最小值為

71

2

．

點評：本題主要直線與圓的位置關系，考查兩個向量的數量積的運算，直線和圓相交的性質，余弦定理的應用，屬于中檔題．