Question

某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）在某一個(gè)周期的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

x	2π 3	x1	8π 3	x2	x3
ωx+φ	0	π 2	π	3π 2	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（Ⅰ）求x₁，x₂，x₃的值及函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π個(gè)單位，可得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)y=f（x）•g（x）在區(qū)間（0，

5π

3

）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由

2π

3

ω+φ=0，

8π

3

ω+φ=0可得ω，φ的值，由

1

2

x₁-

π

3

=

π

2

；

1

2

x₂-

π

3

=

3π

2

；

1

2

x₃-

π

3

=2π可得：x₁，x₂，x₃的值，又由Asin（

1

2

×

5π

3

-

π

3

）=2可求A的值，從而求得解析式f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

）．
（Ⅱ）先求解析式g（x）=f（x）=2cos（

x

2

-

π

3

），從而可得解析式y(tǒng)=f（x）•g（x）=2sin（x-

2π

3

），即可求解．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由

2π

3

ω+φ=0，

8π

3

ω+φ=0可得：ω=

1

2

，φ=-

π

3

，…（2分）
由

1

2

x₁-

π

3

=

π

2

；

1

2

x₂-

π

3

=

3π

2

；

1

2

x₃-

π

3

=2π可得：
x₁=

5π

3

，x₂=

11π

3

，x₃=

14π

3

，
又∵Asin（

1

2

×

5π

3

-

π

3

）=2，
∴A=2．
∴f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

），…（6分）
（Ⅱ）由f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

）的圖象向左平移π個(gè)單位，
得g（x）=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

+

π

2

）=2cos（

x

2

-

π

3

）的圖象，…（8分）
∴y=f（x）•g（x）=2×2sin（

x

2

-

π

3

）cos（

x

2

-

π

3

）=2sin（x-

2π

3

）…（10分）
∵x∈（0，

5π

3

）時(shí)，x-

2π

3

∈（-

2π

3

，π）
∴當(dāng)x-

2π

3

=-

π

2

時(shí)，即x=

π

6

時(shí)，y_min=-2，…（13分）
注：若用f(x)=4sin(

1

2

x-

π

3

)sin(

1

2

x+

π

6

)運(yùn)算，請(qǐng)參照給分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．