Question

【題目】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，試問(wèn)在鈾上是否存在與不重合的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在， T（4，0）

【解析】

（1）由題意，．故．然后設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓方程，聯(lián)立橢圓定義，進(jìn)一步計(jì)算可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）假設(shè)存在與不重合的定點(diǎn)，使得恒成立，則，設(shè)出、、點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算，可得．然后設(shè)直線．聯(lián)立直線與橢圓方程，消去整理可得一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理有，．然后代入進(jìn)行計(jì)算可判斷是否是定值，即可得到結(jié)論．

解：（1）由題意，．故．

可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則

，解得，即．

，解得．

，．

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意，假設(shè)存在與不重合的定點(diǎn)，使得恒成立，

設(shè)，，且，，，，，則

，．

，

，即．

整理，得．

設(shè)直線．

聯(lián)立，

消去，整理得．

，．

．

．

存在與不重合的定點(diǎn)，使得恒成立，且點(diǎn)坐標(biāo)為．