Question

【題目】如圖，拋物線：的焦點為，以為直角頂點的等腰直角的三個頂點，，均在拋物線上.

（1）過作拋物線的切線，切點為，點到切線的距離為2，求拋物線的方程；

（2）求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設出過點的拋物線的切線的方程，聯立拋物線的方程，消去得關于的方程，利用△以及到切線的距離，求出的值即可；

（2）由題意設直線的方程，聯立拋物線方程，得關于的方程，利用根與系數的關系，以及，求得面積的最小值．

（1）過點的拋物線的切線：，

聯立拋物線：，得，

，即.

∵，到切線的距離為，

化簡得，∴，

∵，∴，得，

∴，∴拋物線方程為.

（2）已知直線不會與坐標軸平行，設直線：，

聯立拋物線方程得，

則，，

同理可得；

∵，即，

∴，即，

∴.

∵（當且僅當時，等號成立），

（當且僅當時等號成立），

故，面積的最小值為.