Question

【題目】當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進. 高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施. 某地區(qū)2018年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分. 某學校在初三上學期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到右邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：

（1）現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；

（2）若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本方差 （各組數(shù)據(jù)用中點值代替）. 根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：

（ⅰ）預估全年級恰好有2000名學生時，正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）

（ⅱ）若在全年級所有學生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望. 附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）1683人；（ⅱ）分布列見解析，.

【解析】

（1）分成兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分兩種情況，計算得到答案.

（2）（ⅰ）先計算，得到，代入公式計算得到答案.

（2）（ⅱ）每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為0. 5，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學期望得到答案.

（1）兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分，

（2）

又，所以正式測試時，，∴.

（ⅰ）∴，

∴（人）

（ⅱ）由正態(tài)分布模型，全年級所有學生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為0. 5，即

∴；；

； .

∴的分布列為

.