Question

已知函數f（x）=log_a（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（1,+∞）上的單調性,并予以證明．

Answer 1

（１）；（２）奇函數；（３）略

（1） 
f（x）的定義域為-----------------------（3分）
（2）
對定義域內的任意恒成立，所以函數為奇函數-----------------------（3分）
（3）法一：求導得，
①當時，在上都是減函數；
②當時，上都是增函數；
法二：設，任取，


==．-------------------（9分）
∵x₁＞1,x₂＞1,∴x₁－1＞0,x₂－1＞0．又∵x₁＜x₂,∴x₁－x₂＜0．
∴＜0,即，
當a＞1時,y=log_ax是增函數,∴log_a＜log_a,   
即f（x₂）＜f（x₁）;
當0＜a＜1時,y=log_ax是減函數,
∴log_a<log_a, 即f（x₂）＞f（x₁）．
綜上可知,當a＞1時,f（x）=log_a在（1,+∞）上為減函數;
當0＜a＜1時,f（x）=log_a在（1,+∞）上為增函數．-----------------------（12分）