Question

已知f（x）=

2x

x2+6

．
（1）若f（x）＞k的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若對任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）根據題意，把f（x）＞k化為kx²-2x+6k＜0，由不等式與對應方程的關系，利用根與系數的關系求出k的值；（2）化簡f（x），利用基本不等式，求出f（x）≤t時t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）＞k，
∴

2x

x2+6

＞k；
整理得kx²-2x+6k＜0，∵不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，
∴方程kx²-2x+6k=0的兩根是-3，-2；
由根與系數的關系知，
-3+（-2）=

2

k

，
即k=-

2

5

；
（2）∵x＞0，
∴f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，
當且僅當x=

6

時取等號；
又∵f（x）≤t對任意x＞0恒成立，
∴t≥

6

6

，
即t的取值范圍是[

6

6

，+∞）．

點評：本題考查了函數的性質與應用問題，也考查了不等式的解法與應用問題，基本不等式的應用問題，是綜合題．