Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）證明：數列{c_n+1-a_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若數列{b_n}滿足4 h1-14 h2-1…4 hn-1=（a_n+1） bn（n∈N⁺），證明{b_n}是等差數列．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）將a_n+2=3a_n+1-2a_n化為：

an+2-an+1=2(an+1-an)

，由等比數列的定義進行證明即可；
（Ⅱ）由等比數列的通項公式得：an+1-an=2n，利用迭代法求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）由指數的運算性質化簡式子：4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，給n恰當的值列出式子，再作差后得到數列{b_n}的遞推公式，由等差中項的性質進行證明．

解答： （I）證明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，∴

an+2-an+1=2(an+1-an)

，
∵

a1=1，a2=3

，∴

an+2-an+1 an+1-an =2(n∈N*)

，
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2為首項，2為公比的等比數列．…（4分）
（II）解：由（I）得an+1-an=2n(n∈N*)，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁

=2n-1+2n-2+…+2+1

=2n-1(n∈N*)

…（8分）
（III）證明：∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，
∴4(b1+b2+…+bn)=2nbn，
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
由②-①得，2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0．③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．④
由④-③得，nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)，
∴{b_n}是等差數列．…（14分）

點評：本題考查等比、等差數列的證明方法：定義法、等差中項的性質，等差數列的通項公式，以及指數的額運算性質，考查化簡、變形能力，難度較大．