Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（Ⅰ）求函數y=f（x）-x的單調區間；
（Ⅱ）證明：函數y=f（x）和y=g（x）在公共定義域內，g（x）-f（x）＞2；
（Ⅲ）若存在兩個實數x₁，x₂且x₁≠x₂，滿足f（x₁）=ax₁，f（x₂）=ax₂．求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）函數y=f（x）-x的定義域為（0，+∞），再求導y′=

1

x

-1，從而確定函數的單調區間；
（Ⅱ）先求函數y=f（x）和y=g（x）的公共定義域，從而化簡g（x）-f（x）=e^x-lnx=（e^x-x）-（lnx-x），從而設m（x）=e^x-x，設n（x）=lnx-x，從而證明．
（Ⅲ）不妨設x₁＞x₂＞0，從而可得lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）；從而可得a=

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

；令h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1）；從而利用導數證明．

解答： 解：（Ⅰ）函數y=f（x）-x的定義域為（0，+∞），
y′=

1

x

-1，
故當x∈（0，1）時，y′＞0，當x∈（1，+∞）時，y′＜0，
故函數y=f（x）-x的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞）；

（Ⅱ）證明：函數y=f（x）和y=g（x）的公共定義域為（0，+∞），
g（x）-f（x）=e^x-lnx=（e^x-x）-（lnx-x），
設m（x）=e^x-x，則m′（x）=e^x-1＞0，則m（x）在（0，+∞）上單調遞增，
故m（x）＞m（0）=1；
設n（x）=lnx-x，則n′（x）=

1

x

-1，當x=1時有極大值點，
n（x）≤n（1）=-1；
故g（x）-f（x）=m（x）-n（x）＞2；
故函數y=f（x）和y=g（x）在公共定義域內，g（x）-f（x）＞2．

（Ⅲ）證明：不妨設x₁＞x₂＞0，由題意得，
lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂；
所以lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂）；
而要證x₁x₂＞e²，
只需證明lnx₁+lnx₂＞2；
即證明a（x₁+x₂）＞2；
即證明a=

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

；
即證明，ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

；
令

x1

x2

=t，則t＞1；
即證明lnt＞

2(t-1)

t+1

；
設h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1）；
則h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函數h（t）在區間（1，+∞）上是增函數，
所以h（t）＞h（1）=0，
即lnt＞

2(t-1)

t+1

；
所以不等式x₁x₂＞e²成立．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數在求單調性與極值的應用，同時考查了構造函數證明不等式的思想，屬于難題．