Question

（本題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°．BC=CC₁=a，AC=2a．
（I）求證：AB₁⊥BC₁；
（II）求二面角B—AB₁—C的大小；
（III）求點A₁到平面AB₁C的距離．
 

 

Answer 1

（1）略
（2）
（3）

（1）證明：∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC， ∴AC⊥CC₁．
∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面B₁BCC_1．
∴B₁C是AB₁在平面B₁BCC₁上的射影．
∵BC=CC₁， ∴四邊形B₁BCC₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C． 根據三垂線定理得，
AB₁⊥BC₁．………………5分
（2）解：設BC₁∩B₁C=O，作OP⊥AB₁于點P，
連結BP．∵BO⊥AC，且BO⊥B₁ C，
∴BO⊥平面AB₁C．
∴OP是BP在平面AB₁C上的射影．
根據三垂線定理得，AB₁⊥BP．
∴∠OPB是二面角B—AB₁—C的平面角．…………8分
∵△OPB₁~△ACB₁， ∴ ∴
在Rt△POB中，，
∴二面角B—AB₁—C的大小為…………10分
（3）解：[解法1] ∵A₁C₁//AC，A₁C₁平面AB₁C，
∴A₁C₁//平面AB₁C．
∴點A₁到平面AB₁C的距離與點C₁到平面AB₁C．的距離相等．
∵BC₁⊥平面AB₁C， 
∴線段C₁O的長度為點A₁到平面AB₁C的距離．
∴點A₁到平面AB₁C的距離為…………14分
[解法2]連結A₁C，有，設點A₁到平面AB₁C的距離為h．
∵B₁C₁⊥平面ACC₁A₁， ∴，
又，
∴  ∴點A₁到平面AB₁C的距離為…………14分