Question

（本小題滿分12分）如圖在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF:FC=3:1。

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）試在PC上確定一點G，使平面ABG//平面DEF；
（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的情況下，求直線GB與平面ABC所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）,證明略。
（Ⅱ）取的中點，則點可使平面平面，證明略。
（Ⅲ）

解：
（Ⅰ）在中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴，∴，同理可得 
∵，∴平面ABC
∵平面ABC，∴。
（Ⅱ）如圖所示取PC的中點G，則點G可使平面ABG//平面DEF。
連結AG、BG，∵PF:FC=3:1，∴F為GC的中點
又D、E分別是BC、AC的中點，
∴AG//EF，同時易知BG//FD，又，
∴平面ABG//平面DEF，即PC的中點G可使平面ABG//平面DEF。
（Ⅲ）由（Ⅱ）)知G為PC的中點，連結GE，則有平面ABC，連接EB，
則EB是GB在平面ABC內的射影，
所以是與平面ABC所成的角，而，，
所以，所以直線與平面ABC所成角的正弦值是。