Question

【題目】已知函數．

(1)求函數的值域；

(2)試問：函數的圖象上是否存在關于坐標原點對稱的點,若存在,求出這些點的坐標；若不存在,說明理由；

(3)若方程的三個實數根、、滿足：＜＜,且,求實數a的值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在,分別是,；(3)．

【解析】

(1)分別求出函數在每段上的值域,最后求出整個函數的值域即可.

(2)假設存在這樣的點,不妨設,可求它的關于原點的對稱點坐標,再代入函數解析式中,能求出說明存在性,求不出則說明不存在這樣的點；

(3)判斷之間的大小關系,然后分類化簡方程,求出三個實數根、、,再根據,求出實數a的值.

(1)當時,

當時, ,因此函數的值域為；

(2) 假設存在這樣的點,不妨設,它關于原點的對稱點坐標為：

,由題意可知它也在函數圖象上,因此有

(舍去),

因此存在這樣兩個點,坐標分別為和；

(3)由(1)可知：當時, ,顯然此時, ,

當時,若時,解得,若時,解得

.

因此當時, ,此時方程化簡為：

解得,因此有.

當時, ,此時方程化簡為：,解得

,要想方程有三個不同的根,則必有,此時

成立,因此有,

又因為,

所以,解得(舍去), .

,因此.