Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線與直線平行.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)和切線的斜率列方程，解方程求得的值.

（2）由（1）求得的解析式.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，以及極值，結(jié)合在上恰有兩個零點(diǎn)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

（3）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，求得兩個極值點(diǎn)的關(guān)系式，將表示為只含的表達(dá)式，由此利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的取值范圍.

（1），

∵函數(shù)在 處的切線與直線平行，

∴，解得；

（2）由（1）得，

∴函數(shù)，

令，則，

令得，，列表得：

			1	（1，2）	2
	0		0
		單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)時，的極小值為，又，

∵函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)

∴即，解得.

（3），∴，

令得，

∵，是的極值點(diǎn)，∴，，∴，

∵，∴解得：，

∴，

令，

則，∴在上單調(diào)遞減；

∴當(dāng)時，∴的最大值為.