Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓的上頂點(diǎn)，，且的面積為1．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，求當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)三角形的面積公式，以及等邊三角形的性質(zhì)即可求出b，c，再根據(jù)a2＝b2+c2，即可得到．（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用MA⊥NA，得到﹣1，即可得出．

（1）由已知可得，的面積為．.

∴.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，依題意直線的斜率存在，故設(shè)的方程為，

聯(lián)立得，

∴，即，

且，，

又 ，

.∵是橢圓的上頂點(diǎn)，故，

∵，∴，即，

∴，

∴，，或，

∵直線不過(guò)點(diǎn)，∴，直線過(guò)定點(diǎn)，

的面積，

令.則，函數(shù)，，

∴在單調(diào)遞減，故.

∴的面積取得最大值時(shí)，，直線的方程為.