Question

【題目】已知函數f（x）為增函數，當x，y∈R時，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）

（1）求證：f（x）是奇函數.

（2）是否存在m，使，對于任意x∈［1，2］恒成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）利用賦值法證明f（－x）＝－f（x），即證明f（x）為奇函數；（2）假設存在m，即在x∈［1，2］時恒成立，再配方利用二次函數求解.

（1）令x＝y＝0得f（0）＝0

令y＝－x，則f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0

∴f（－x）＝－f（x）　

∴f（x）為奇函數.

（2）假設存在m　則，

∵f（x）為奇函數且單調遞增，　　

∴，

∴，

∴在x∈［1，2］時，恒成立.　　　

∴　在x∈［1，2］上，恒成立.　

設，

所以在∈［0，1］上，恒成立.　

∴