Question

【題目】已知函數f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），給出以下四個命題： ①x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）；
②x1 ， x2∈（﹣1，1）且x1≠x2 ， 有 ；
③x1 ， x2∈（0，1），有 ；
④x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|．
其中所有真命題的序號是（ ）
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：對于①，∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），且其定義域為（﹣1，1）， ∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），
即①x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x），故①是真命題；
對于②，∵x∈（﹣1，1），由 ，
可知f（x）在區間（﹣1，1）上單調遞增，
即x1 ， x2∈（﹣1，1）且x1≠x2 ， 有 ，故②是真命題；
對于③，∵f′（x）= 在（0，1）單調遞增，∴x1 ， x2∈（0，1），
有 ，故③是真命題；
對于④，設g（x）=f（x）﹣2x，則當x∈（0，1）時，g'（x）=f'（x）﹣2≥0，所以g（x）在（0，1）單調遞增，所以當x∈（0，1）時，g（x）＞g（0），即f（x）＞2x；由奇函數性質可知，x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|，故④是真命題．
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．