Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，如圖所示，斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).

（1）求的最小值；

（2）若，求證：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和所在直線方程，求點(diǎn) 的坐標(biāo)，利用基本不等式即可求得 的最小值；
（2）由（1）知所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并代入 ，得到 ，因此得證直線過(guò)定點(diǎn)；

試題解析：（1）設(shè)直線 的方程為，由題意， ，

由方程組，得，

由題意，所以，

設(shè)，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，

由于為線段的中點(diǎn)，因此，

此時(shí)，所以所在直線的方程為，

又由題意知，令，得，即，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立，

此時(shí)由得，因此當(dāng)且時(shí)， 取最小值.

（2）證明：由（1）知所在直線的方程為，

將其代入橢圓的方程，并由，解得，

又，

由距離公式及得

， ，

，

由，得，

因此直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).