Question

若方程 

1

3

x3-x2-3x=b有3個不同實數解，則b的取值范圍為

(-9，

5

3

)

．

Answer 1

分析：構造f（x）=

1

3

x3-x2-3x，通過函數的導數求出函數的極值，然后利用三個不等實根，可得b的取值范圍．

解答：解：假設f（x）=

1

3

x3-x2-3x，則f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
∴函數在（-∞，-1），（3，+∞）上單調增，在（-1，3）上單調減
∴f（-1）=

5

3

為極大值，f（3）=-9為極小值
所以即-9＜b＜

5

3

時，函數f（x）=

1

3

x3-x2-3x與函數f（x）=b有三個交點，方程有3個不等實根
故答案為：(-9，

5

3

)．

點評：本題以方程為載體，考查方程根問題，考查函數與方程的聯系，解題的關鍵是構造函數，利用導數求函數的極值．