Question

【題目】一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁和外壁都是半徑為1m的四分之一圓弧，分別與圓弧相切于兩點，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m.

（1）若水平放置的木棒的兩個端點分別在外壁和上，且木棒與內壁圓弧相切于點設試用表示木棒的長度

（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）如圖，設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點作TQ的垂線，垂足為W．在中用NW和表示出NS，在中用PQ和表示出QS，然后分別看S在線段TG上和在線段GT的延長線上分別表示出TS=QT-QS，然后在中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表達式和的表達式．

（2）設出，則可用t表示出，然后可得關于t的表達式，對函數進行求導，根據t的范圍判斷出導函數與0的大小，進而就可推斷出函數的單調性；然后根據t的范圍求得函數的最小值．

試題解析：⑴如圖，設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD的垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線于S，并連結PQ，再過點N作TQ的垂線，垂足為W，在中，因為NW=2，，所以，因為MN與圓弧FG切于點P，所以，在中，因為PQ=1，，所以，

①若M在線段TD上，即S在線段TG上，則TS=QT-QS，

在中，，

因此．

②若M在線段CT上，即若S在線段GT的延長線上，則TS=QS-QT，

在中，，

因此．

．

（2）設，則，

因此．因為，又，所以恒成立，

因此函數在是減函數，所以

即．

所以一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為．