Question

一束光線從點A（-1，0）出發，經過直線l：2x-y+3=0上的一點D反射后，經過點B（1，0）．
（1）求以A，B為焦點且經過點D的橢圓C的方程；
（2）過點B（1，0）作直線l交橢圓C于P、Q兩點，以AP、AQ為鄰邊作平行四邊形APRQ，求對角線AR長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出點A（-1，0）關于直線l：2x-y+3=0的對稱點為，由題設知橢圓長軸長等于|A′B|，從而求出a，b，c，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立方程組，消去x得：（my+1）²+2y²=2，然后利用韋達定理和兩點間距離公式，能夠求出對角線AR長度的取值范圍．
解答：解：（1）點A（-1，0）關于直線l：2x-y+3=0的對稱點為，
∴，c=1，∴b²=1，
所以所求橢圓方程為：．
（2）設直線l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯立方程組，
消去x得：（my+1）²+2y²=2，
即（m²+2）y²+2my-1=0，
∴
∵
∴
令，
則，
∴．
點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關系的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理、兩點間距離公式的應用，合理地進行等價轉化．