Question

在平面直角坐標系中，已知M（-a，0），N（a，0），其中a∈R，若直線l上有且只有一點P，使得|PM|+|PN|=10，則稱直線l為“黃金直線”，點P為“黃金點”．由此定義可判斷以下說法中正確的是

 

①當a=7時，坐標平面內不存在黃金直線；
②當a=5時，坐標平面內有無數條黃金直線；
③當a=3時，黃金點的軌跡是個橢圓；
④當a=0時，坐標平面內有且只有1條黃金直線．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①當a=7時，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此不存在黃金直線；
②當a=5時，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此線段MN上的點都滿足上式，可得坐標平面內有無數條黃金直線；
③當a=3時，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黃金點的軌跡是個橢圓；
④當a=0時，點M與N重合為（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，點P在以原點為圓心、5為半徑的圓上，即可判斷出．

解答： 解：①當a=7時，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐標平面內不存在黃金直線；
②當a=5時，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此線段MN上的點都滿足上式，因此坐標平面內有無數條黃金直線，正確；
③當a=3時，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黃金點的軌跡是個橢圓，正確；
④當a=0時，點M與N重合為（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，點P在以原點為圓心、5為半徑的圓上，因此坐標平面內有且無數條黃金直線．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了新定義“黃金直線”、“黃金點”、橢圓的定義、圓的定義等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．