Question

設F為拋物線y²=4x的焦點，A是拋物線上一點，B是圓C：x²+y²+6x+6y+14=0上任意一點，設點A到y軸的距離為m，則m+|AB|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：把圓的方程化成標準式，求得圓的圓心和半徑，利用拋物線的標準方程求得拋物線的焦點和準線方程，根據拋物線的定義可知點A到準線的距離等于點A到焦點F的距離，進而問題轉換為焦點到A點距離與A點到B的距離問題，推斷出當A，B，F三點共線時A到點B的距離與點A到拋物線的焦點F距離之和的最小．

解答： 解：圓C：（x+3）²+（y+3）²=4，表示為以（-3，-3）為圓心設為O，2為半徑的圓，
拋物線y²=4x的準線方程為x=-1，焦點F（1，0），
根據拋物線的定義可知點A到準線的距離等于點A到焦點F的距離，
進而推斷出當A，B，F三點共線時A到點B的距離與點A到拋物線的焦點F距離之和的最小，即m+1+|AB|的值最小，
此時|AO|=

42+32

=5，
∴|AF|=|A0|-|B0|=3，即m+1+|AB|的最小值為3，
∴m+|AB|的最小值為2．
故答案為：2

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．解題的關鍵是利用數形結合的思想，并利用拋物線的定義解決．