Question

若在給定直線y=x+t上任取一點(diǎn)P，從點(diǎn)P向圓x²+（y-2）²=8引一條切線，切點(diǎn)為Q．若存在定點(diǎn)M，恒有PM=PQ，則t的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：設(shè)M（m，n），P（x，x+t），由條件可得（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0，?x∈R恒成立，可得

2m+2n-4=0 m2+n2-2nt+4t+4=0

，消去m，可得n²-（t+2）n+（2t+4）=0，由△≥0，求得t的范圍．

解答： 解：設(shè)M（m，n），P（x，x+t），若恒有PM=PQ，
則有（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8，
即有（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0，?x∈R恒成立，
∴

2m+2n-4=0 m2+n2-2nt+4t+4=0

，消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0．
∴△=（t+2）²-4（2t+4）≥0，求得t∈（-∞，-2]∪[6，+∞），
故答案為：（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．