Question

【題目】一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發旅游資源在A、B、C三島之間已經建有索道供游客觀賞，經測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現調查后發現，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優弧）一片的風景更加喜歡，但由于環保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風光，現決定在上選擇一個點D建立索道供游客游覽，經研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意畫出草圖，根據余弦定理求出的值，設點到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點和不是中點兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據圓的有關性質和正弦定理，即可求出結果．

根據題意可作出及其外接圓，連接，交于點，連接，如下圖：

在中，由余弦定理

,

由為的內角，可知，所以.

設的半徑為，點到的距離為，點到的距離為，則,

故取最大時，取最大值.

①當為中點時，由垂徑定理知，即，

此時，故；

②當不是中點時，不與垂直，設此時與所成角為，則，故；

由垂線段最短知，此時;

綜上，當為中點時，到的距離最大，最大值為；

由圓周角定理可知，,

由垂徑定理知，此時點為優弧的中點，故，

則，

在中，由正弦定理得

所以.

所以當△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.

故答案為：．