Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，，過點作曲線的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數(shù)的最小值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

當(dāng)時，，可得函數(shù)在為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對稱性可得函數(shù)的最小值為,進而分析可得點作曲線的兩條切線的斜率，設(shè)右側(cè)的切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即，結(jié)合兩點間連線的斜率公式可得，即，聯(lián)立兩式求出的值，代入函數(shù)的解析式可得結(jié)果.

根據(jù)題意，分析可得當(dāng)時，，

則函數(shù)在為增函數(shù)，

又由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)在為減函數(shù)，

所以函數(shù)的最小值為，

點作曲線的兩條切線，

則兩條切線的關(guān)于直線對稱，即兩條切線的斜率互為相反數(shù)，

若兩條切線互相垂直，切線的斜率，

設(shè)右側(cè)的切點為，

因為，所以導(dǎo)數(shù)，

則有，即，①

又由切線過點，可得，

即，解可得，②

聯(lián)立①②可得，

則函數(shù)的最小值為，故選B.