Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為B，!F為其左焦點，若AF⊥BF，設∠ABF=

π

6

，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  -1
• C、

  3

  3

• D、1-

  3

  2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：數形結合,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據對稱性得出四邊形AF₂BF₁為矩形，設AF₁=x，則BF₁=

3

x，運用矩形的幾何性質，得出邊長，
再運用定義判斷得出（

3

+1）c=2a，即可求解離心率．

解答： 解：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為B，
F₁（-c，0），F₂（c，0）A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），
∵AF⊥BF，設∠ABF=

π

6

，
∴根據橢圓的對稱性可知：四邊形AF₂BF₁為矩形，
∴∴AF₂=BF₁=

3

x，F₁F₂=2x
∴x+

3

x=2a．F₁F₂=2c=2x，
∴（

3

+1）c=2a，
∴

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1

點評：本題考察了橢圓的幾何性質，定義，解直角三角形，矩形的幾何性質，運用數形結合數學解決代數問題，屬于中檔題．