Question

已知O為坐標軸原點，∠AOB=90°，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y=

1

4

x²上運動．（x₁x₂＜0，y₁y₂＞0）
（1）求證：點（x₁，x₂）在反比例函數y=-

16

x

的圖象上；
（2）求證：直線AB經過一個定點，并求出這個定點坐標；
（3）當AB∥x軸時，動點P以每秒一個單位的速度自點B向點O運動，同時動點Q以每秒兩個單位的速度自點A向點O運動，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t秒（t≥0），試說明PQ的中點在定直線上，并求此定直線的解析式．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由∠AOB=90°，則x₁x₂+y₁y₂=0，以及A，B在拋物線上的條件，即可得證；
（2）設直線AB：y=kx+t，代入拋物線方程，可得，x²-4kx-4t=0，運用韋達定理，及x₁x₂+y₁y₂=0，得到t的方程，解得t=4即可得證；
（3）設出運動t秒時，

OP

=（4

2

-t）

OB

，求得P的坐標，再由

OQ

=（4

2

-2t）

OA

，求得Q的坐標，再由中點坐標公式，消去t，即可得到定直線．

解答： （1）證明：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y=

1

4

x²上運動，
則有x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，
由于∠AOB=90°，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即有（x₁x₂）²=16y₁y₂=-16x₁x₂，即有x₁x₂=-16．
則點（x₁，x₂）在反比例函數y=-

16

x

的圖象上；
（2）證明：設直線AB：y=kx+t，代入拋物線方程，可得，
x²-4kx-4t=0，x₁x₂=-4t，x₁+x₂=4k，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²
=-4k²t+4k²t+t²=t²，由于x₁x₂+y₁y₂=0，則t²-4t=0，解得，t=4．
即有直線y=kx+4，即恒過定點（0，4）；
（3）解：當AB∥x軸時，即A（4，4），B（-4，4），
動點P以每秒一個單位的速度自點B向點O運動，則運動4

2

秒停止，
動點Q以每秒兩個單位的速度自點A向點O運動，則運動2

2

秒停止，
則0≤t≤2

2

，
運動t秒時，由

OP

=（4

2

-t）

OB

，可得P（-16

2

+4t，16

2

-4t）
由

OQ

=（4

2

-2t）

OA

，可得Q（16

2

-8t，16

2

-8t），
則PQ的中點為：（-2t，16

2

-6t），
可令x=-2t，y=16

2

-6t，
消去t，可得，y=3x+16

2

．
則有PQ的中點在定直線y=3x+16

2

上．

點評：本題考查拋物線方程及運用，考查兩直線的垂直的條件，以及直線恒過定點的問題，考查聯立直線方程和拋物線方程，消去未知數，運用韋達定理和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．