Question

某園林公司計劃在一塊O為圓心，R（R為常數）為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形CMDC區域用于觀賞樣板地，△OCD區域用于種植花木出售，其余區域用于種植草皮出售．已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元．
（1）設∠COD=θ，

CMD

=l，分別用θ，l表示弓形CMDC的面積S_弓=f（θ），S_弓=g（l）；
（2）園林公司應該怎樣規劃這塊土地，才能使總利潤最大？（參考公式：扇形面積公式S=

1

2

R²θ=Rl）

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）利用扇形面積公式及三角形面積公式寫出弓形面積；
（2）設總利潤為y元，草皮利潤為y₁元，花木地利潤為y₂元，觀賞樣板地成本為y₃元；則y1=3(

1

2

πR2-

1

2

lR)，y2=

1

2

R2sinθ•8，y3=

1

2

R(l-Rsinθ)•2，則y=y1+y2-y3=3(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)+

1

2

R2sinθ•8-

1

2

R2(θ-sinθ)•2．=

1

2

R2[3π-(5θ-10sinθ)]；利用導數求最值．

解答： 解：（1）∵S扇=

1

2

R2θ，S△OCD=

1

2

R2sinθ，
∴S弓=f(θ)=

1

2

R2(θ-sinθ)．
又∵S扇=

1

2

Rl，S△OCD=

1

2

R2sin

l

R

，
∴S弓=g(l)=

1

2

R(l-Rsin

l

R

)．
（2）設總利潤為y元，草皮利潤為y₁元，花木地利潤為y₂元，觀賞樣板地成本為y₃元；
則y1=3(

1

2

πR2-

1

2

lR)，y2=

1

2

R2sinθ•8，y3=

1

2

R(l-Rsinθ)•2，
∴y=y1+y2-y3=3(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)+

1

2

R2sinθ•8-

1

2

R2(θ-sinθ)•2．=

1

2

R2[3π-(5θ-10sinθ)]．
設g（θ）=5θ-10sinθ，θ∈（0，π）．
g′（θ）=5-10cosθ，
由g′(θ)＜0，cosθ＞

1

2

，g(θ)在θ∈(0，

π

3

)上為減函數；
由g′(θ)＞0，cosθ＜

1

2

，g(θ)在θ∈(

π

3

，π)上為增函數．
當θ=

π

3

時，g（θ）取到最小值，此時總利潤最大．
所以當園林公司把扇形的圓心角設計成

π

3

時，總利潤最大．

點評：本題考查導數，函數性質，考查運算能力和分析問題和解決問題的能力．