Question

設t∈R，過定點A的動直線x-my=0和過定點B的動直線mx+y+2m-2=0交于點P（x，y），則|PA|•|PB|的最大值是

 

．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用

專題：直線與圓

分析：動直線x-my=0過定點A（0，0），動直線mx+y+2m-2=0化為m（x+2）+y-2=0，令

x+2=0 y-2=0

，可得定點B（-2，2）．連接

x-my=0 mx+y+2m-2=0

，解得P(

2m-2m2

m2+1

，

2-2m

m2+1

)，利用兩點之間的距離公式可得|PA|•|PB|=4|1-

2

m2+1

|，即可得出最大值．

解答： 解：動直線x-my=0過定點A（0，0），
動直線mx+y+2m-2=0化為m（x+2）+y-2=0，令

x+2=0 y-2=0

，解得x=-2，y=2．過定點B（-2，2）．
連接

x-my=0 mx+y+2m-2=0

，解得

x= 2m-2m2 m2+1 y= 2-2m m2+1

．即P(

2m-2m2

m2+1

，

2-2m

m2+1

)，
∴|PA|•|PB|=

( 2m-2m2 m2+1 )2+( 2-2m m2+1 )2

•

( 2m-2m2 m2+1 +2)2+( 2-2m m2+1 -2)2

=4|

m2-1

m2+1

|=4|1-

2

m2+1

|≤4，
當且僅當m=0時取等號．
故答案為：4．

點評：本題考查了直線系、直線的交點、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．