Question

設函數f（x）=|x|x+bx+c，給出下列三個命題：
①b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實數根；
②c=0時，y=f（x）是奇函數；
③y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱．
則上述命題中所有正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：通過去絕對值并解方程，奇函數的定義，以及奇函數的對稱性，圖象的平移即可判斷每個命題的正誤．

解答： 解：①根據該條件得到方程|x|x+c=0，∴|x|x=-c，所以只有x＜0時，該方程有解；
并且解為x=-

c

，即方程f（x）=0只有一個實數根，所以該命題正確；
②c=0時，f（x）=|x|x+bx，該函數的定義域為R，且顯然f（-x）=-f（x）；
∴y=f（x）為奇函數，所以該命題正確；
③奇函數|x|x+bx的圖象關于原點（0，0）對稱，而該函數圖象沿y軸向上或向下平移|c|個單位得到f（x）=|x|x+bx+c的圖象，并且對稱點平移到（0，c）；
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，所以該命題正確；
綜上得，正確命題的序號為①②③．
故答案為：①②③．

點評：考查解含絕對值方程的解法：去絕對值，奇函數的定義，以及奇函數圖象的對稱性，圖象平移的知識．