Question

已知點(diǎn) E（-2，0），F(xiàn)（2，0），曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M滿足

ME

•

MF

=-3，定點(diǎn)A（2，1），由曲線C外一點(diǎn)P（a，b）向曲線C引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且 滿足|PQ|=|PA|．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求線段|PQ|長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)M（x，y），利用曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M滿足

ME

•

MF

=-3，化簡(jiǎn)，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先確定b=-2a+3，再求線段|PQ|長(zhǎng)的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則

EM

=(x+2，y)，

FM

=(x-2，y)，
∴

EM

•

FM

=(x+2，y)•(x-2，y)=x2-4+y2=-3…（5分）
即M點(diǎn)軌跡（曲線C）方程為x²+y²=1，即曲線C是⊙O．
（2）連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有：|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系為：2a+b-3=0，即b=-2a+3．
∴|PQ|=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，|PQ|min=

2

5

5

．
即線段PQ長(zhǎng)的最小值為

2

5

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．