Question

【題目】已知函數.

（1）當，求函數的單調區間；

（2）若函數在上是減函數，求的最小值；

（3）證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是，，單調遞增區間是（2）的最小值為（3）見解析

【解析】分析：（1）代入，根據導函數的符號判斷函數的單調區間。

（2）由單調遞減區間，得到恒成立。進而確定只需當時，即可，對導函數配方，利用二次函數性質求得最大值，進而得出的最小值。

（3）函數變形，構造函數，求導函數。構造函數，則，根據導函數的單調性求其最值，即可證明不等式。

詳解：函數的定義域為，

詳解：函數的定義域為，

（1）函數，

當且時，；當時，，

所以函數的單調遞減區間是，，單調遞增區間是.

（2）因在上為減函數，故在上恒成立.

所以當時，.

又 ，

故當，即時，.

所以，于是，故的最小值為.

（3）問題等價于.

令，則，

當時，取最小值.

設，則，知在上單調遞增，在上單調遞減.

∴，

∵ ，

∴，∴，

故當時，.