【題目】已知函數
.
（Ⅰ）設函數
，試討論函數
的單調性；
（Ⅱ）設函數
，求函數
的最小值.
【答案】(Ⅰ) 函數
在
上單增，在
上單減，在
上單增(Ⅱ) 
【解析】試題分析：（Ⅰ） 
， 
，討論導函數的正負從而得函數單調性；
（Ⅱ）函數
，令
，則
，從而通過求
和
的最小值進而可得
的最小值.
試題解析：
（Ⅰ）函數
的定義域為
， 
，
故
．
令
，得
或
，
當
時， 
， 
在
上為單調增函數，
當
時， 
， 
在
上為單調減函數，
當
時， 
， 
在
上為單調增函數，
故函數
在
上單增，在
上單減，在
上單增．
（Ⅱ）函數
，
由（Ⅰ）得函數
在
上單增，在
上單減，在
上單增，
∵
時， 
，而
，
故函數
的最小值為
，
令
，得
，
當
時， 
， 
在
上為單調減函數，
當
時， 
， 
在
上為單調增函數，
∴函數
的最小值為
，
故當
時，函數
的最小值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系
中，過點
的直線
的參數方程為
（
為參數）.以原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線
的普通方程和曲線
的直角坐標方程；
（2）若直線
與曲線
相交于
， 
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的頂點
， 
在橢圓
上， 
在直線
上，且
．
（
）求橢圓
的離心率．
（
）當
邊通過坐標原點
時，求
的長及
的面積．
（
）當
，且斜邊
的長最大時，求
所在直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三年級50名學生參加數學競賽，根據他們的成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，已知分數在
的矩形面積為
，
求：
分數在
的學生人數；
這50名學生成績的中位數
精確到
；
若分數高于60分就能進入復賽，從不能進入復賽的學生中隨機抽取兩名，求兩人來自不同組的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的左焦點為F，左頂點為A，已知
，其中O為坐標原點，e為橢圓的離心率．
求橢圓C的方程；
是否存在斜率為
的直線l，使得當直線l與橢圓C有兩個不同交點M，N時，能在直線
上找到一點P，在橢圓C上找到一點Q，滿足
？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】國內某知名大學有男生14000人，女生10000人.該校體育學院想了解本校學生的運動狀況，根據性別采取分層抽樣的方法從全校學生中抽取120人，統計他們平均每天運動的時間（已知該校學生平均每天運動的時間范圍是
），如下表所示.
男生平均每天運動的時間分布情況：
女生平均每天運動的時間分布情況：
（1）假設同組中的每個數據均可用該組區間的中間值代替，請根據樣本估算該校男生平均每天運動的時間（結果精確到0.1）.
（2）若規定平均每天運動的時間不少于
的學生為“運動達人”，低于
的學生為“非運動達人”.
（ⅰ）根據樣本估算該校“運動達人”的數量；
（ⅱ）請根據上述表格中的統計數據填寫下面
列聯表，并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“運動達人”與性別有關.
參考公式： 
，其中
.
參考數據：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形
為底面的棱柱被平面
所截而得，已知
平面
為
的中點, 
面
．
(1)求
的長；
(2)求證：面
面
；
(3)求平面
與平面
相交所成銳角二面角的余弦值．
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