Question

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，已知，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．

求橢圓C的方程；

是否存在斜率為的直線l，使得當(dāng)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N時(shí)，能在直線上找到一點(diǎn)P，在橢圓C上找到一點(diǎn)Q，滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】

（1）由整理得：,再由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)列方程求解。

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，表示出及，利用得到四點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由橢圓方程即可判斷是否存在點(diǎn)Q滿足題意。

解：（1）由題意知：，

又因?yàn)?/span>，,解得

故橢圓的方程為

（2）橢圓上不存在這樣的點(diǎn).

設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立，得,

，得.

設(shè)，則，.

由知為平行四邊形,設(shè)為的中點(diǎn),則它也是的中點(diǎn).

于是設(shè),,則,

即，可得.因?yàn)?/span>,所以.

若在橢圓上，則，矛盾.

因此,不存在滿足條件的點(diǎn)．