Question

已知y=f（x）是偶函數(shù)，而y=f（x+1）是奇函數(shù)，且對任意0＜x＜1，都有f（x）=lnx+

1

x

，則a=f（

2009

4

），b=f（

2011

2

），c=f（

2013

5

）的大小關系是（　　）

• A、c＜a＜b
• B、a＜c＜b
• C、c＜b＜a
• D、a＜b＜c

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)已知條件即可得到f（x）=（-1）ⁿf（x-2n），n∈N^*，所以可求得a=-f（

1

4

），b=-f（

1

2

），c=-f（

3

5

），而通過求導能夠判斷f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，從而可比較f（

1

4

），f（

1

2

），f（

3

5

）的大小關系，從而得出a，b，c的大小關系．

解答： 解：根據(jù)已知條件，f（x）=f（x-1+1）=-f[-（x-1）+1]=-f（x-2）=（-1）ⁿf（x-2n），n∈N^*；
∴a=f（

2009

4

）=f（

1

4

+502）=(-1)251f(

1

4

+502-2×251)=-f(

1

4

)；
b=f（

1

2

+1005）=f(

1

2

+1+2×502)=f(

1

2

+1)=-f(

1

2

)；
c=f(

3

5

+402)=-f(

3

5

)；
0＜x＜1時，f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

＜0；
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
∴f(

3

5

)＜f(

1

2

)＜f(

1

4

)；
∴-f(

3

5

)＞-f(

1

2

)＞-f(

1

4

)；
即a＜b＜c．
故選：D．

點評：考查奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義，以及通過判斷導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小．