Question

與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有公共焦點，且兩條漸近線互相垂直的雙曲線方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出橢圓的焦點，即得雙曲線的c，可設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），求出漸近線方程，由直線垂直的條件可得a=b，再由a，b，c的關系，解方程可得a，b，即可得到雙曲線方程．

解答： 解：橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的焦點為（-

5

，0），（

5

，0），
可設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
則c=

a2+b2

=

5

，
漸近線方程為y=±

b

a

x，
由兩條漸近線互相垂直，即有

-b

a

•

b

a

=-1，
即有a=b，
解得，a=b=

10

2

，
則所求雙曲線的方程為x²-y²=

5

2

．
故答案為：x²-y²=

5

2

．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程的運用，考查兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于基礎題．