Question

【題目】已知拋物線，直線 與拋物線交于，兩點(diǎn)．

（1）若以為直徑的圓與軸相切，求該圓的方程；

（2）若直線與軸負(fù)半軸相交，求(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)整理得,利用圓與軸相切的位置關(guān)系得弦從而確定的值，進(jìn)而求得該圓的方程；

（Ⅱ）首先根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系將弦的長(zhǎng)度和原點(diǎn)到直線的距離均表示為的函數(shù)，并確定的取值范圍，從而把的面積也表示為的函數(shù)，最后利用函數(shù)的最值求出的最大值.

試題解析：（Ⅰ）聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)整理得．

依題意應(yīng)有，解得．

設(shè)，則，

設(shè)圓心，則應(yīng)有．

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為，

又．

所以，

解得．

所以，所以圓心為．

故所求圓的方程為．

（Ⅱ）因?yàn)橹本�與軸負(fù)半軸相交，所以，

又與拋物線交于兩點(diǎn)，由（Ⅱ）知，所以，

直線：整理得，點(diǎn)到直線的距離，

所以． 令，，

，

	＋	0	－
		極大

由上表可得的最大值為．所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值．