Question

【題目】如圖，在四棱錐中，、、兩兩垂直，，，，為線段上一點（端點除外）.

（1）若異面直線、所成角的余弦值為，求的長；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，利用空間向量法結合異面直線、所成角的余弦值為可得出關于的方程，解出的值，即可求得的長；

（2）求出平面和平面的法向量，利用空間向量法可求得二面角的平面角的余弦值.

（1）因為、、兩兩垂直，所以以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則由，，

得，，，，.

設，其中，

所以，

因為直線、所成角的余弦值為，

所以，

解得，所以，故的長為；

（2）由（1）知，，，.

設平面的一個法向量為.由，得.

取，則，所以平面的一個法向量為.

設平面的一個法向量為，由，得，

取，則，，所以平面的一個法向量為.

因為，

由圖形可知，二面角的平面角為鈍角，其余弦值為.