Question

已知直角坐標平面上一動點P到點F（1，0）的距離比它到直線x=-2的距離小1．求動點p的軌跡方程；直線l過點A（-1，0）且與點P的軌跡交于不同的兩點M、N，若△MFN的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用拋物線的定義，求出拋物線的方程，設直線方程為y=k（x+1），代入拋物線方程可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，利用韋達定理，結合△MFN的面積為4，求直線l的方程．

解答： 解：設P（x，y），由已知平面上動點P到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，
∴點P滿足拋物線定義，點P的軌跡為焦點在x軸正半軸的拋物線，p=2，
∴點P的軌跡方程為y²=4x．
設直線方程為y=k（x+1），代入拋物線方程可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=2-

4

k2

，x₁x₂=1，
∴MN=

1+k2

•

(2- 4 k2 )2-4

=

4

k2

•

(1+k2)(1-k2)

，
∵△MFN的面積為4，F到直線的距離為

2k

1+k2

∴

1

2

×

4

k2

•

(1+k2)(1-k2)

×

2k

1+k2

=4
∴k=±

2

2

，
∴直線方程為y=±

2

2

（x+1）．

點評：本題考查的知識點是直線的一般式方程，拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，關鍵是“設而不求”+“聯立方程”+“韋達定理”．