Question

已知拋物線C₁：x²=y，圓C₂：x²+（y-4）²=1．
（1）在拋物線C₁上取點M，C₂的圓周取一點N，求|MN|的最小值；
（2）設P（x₀，y₀）（2≤x₀≤4）為拋物線C₁上的動點，過P作圓C₂的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點．求AB的中點D的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出M的坐標，由圓C₂：x²+（y-4）²=1可知圓心C₂（0，4），寫出|MC₂|，利用配方法求其最小值，
則|MN|的最小值為|MC₂|的最小值減去圓的半徑；
（2）設出P，A，B的坐標，再設過點P的圓C₂的切線方程為y-x₀²=k（x-x₀），由點到直線的距離公式得到方程(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0，則其兩根為PA，PB的斜率，利用根與系數關系得到其兩根和，再把y-x₀²=k（x-x₀）代入y=x²得，x2-kx+kx0-x02=0，結合x₀是此方程的根得到x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，然后把AB的中點D的橫坐標x用含有x₀的代數式表示，再利用單調性結合x₀的范圍求得AB的中點D的橫坐標的取值范圍．

解答： 解：（1）設M（x，y），由圓C₂：x²+（y-4）²=1可知圓心C₂（0，4），
則|MC₂|=

x2+(y-4)2

=

x2+(x2-4)2

=

x2+x4-8x2+16

=

(x2- 7 2 )2+ 15 4

≥

15

2

．
當且僅當M（±

14

2

，

7

2

）時取“=”，
∴|MN|的最小值為

15

2

-1；
（2）設P（x₀，x02），A(x1，x12)，B(x2，x22)，
再設過點P的圓C₂的切線方程為y-x₀²=k（x-x₀），①
則

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，
即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0，
設PA，PB的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂是上述方程的兩根，
∴k1+k2=

2x0(x02-4)

x02-1

，k1k2=

(x02-4)2-1

x02-1

，
將①代入y=x²得，x2-kx+kx0-x02=0，
由于x₀是此方程的根，故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，
∴AB的中點D的橫坐標x=

x1+x2

2

=

k1+k2-2x0

2

=

2x0(x02-4) x02-1 -2x0

2

=

3x0

1-x02

=

3

1 x0 -x0

．
∵y=

1

x0

-x0是[2，4]上的減函數，且2≤x₀≤4，
∴y∈[-

15

4

，-

3

2

]，
則x∈[-2，-

4

5

]．

點評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題，其中涉及到直線與圓相切的問題，考查了學生的邏輯思維能力和運算能力，是壓軸題．